Was ist die Finite-Elemente-Methode (FEM)?

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur Festkörperberechnung und basiert auf der numerischen Lösung eines komplexen Systems von Differentialgleichungen. Diese beruht auf einer Unterteilung eines Festkörpers in einzelne Elemente endlicher Größe, den sogenannten finiten Elementen. Diese sind durch eine endliche Zahl von Punkten, den Knotenpunkten, miteinander verknüpft. Die grundlegende Annahme des Berechnungsverfahrens ist, dass sich die Verschiebungen innerhalb eines Elements mit hinreichender Genauigkeit aus den Verschiebungen der Knotenpunkte des Elements interpolieren lassen. Kernstück des Berechnungsverfahrens nach der Finiten-Elemente-Methode (FEM) ist daher die Bestimmung der unbekannten Knotenpunktsverschiebungen der finiten Elemente, in die der untersuchte Berechnungsausschnitt zerlegt wurde.

Wo wird FEM in der Geotechnik eingesetzt?

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) wird in der Geotechnik verwendet, um Verschiebungen, innere Kräfte in den konstruktiven Elementen, Spannungen, Belastungen und plastische Zonen im Boden sowie weitere Größen in jeder Bauphase zu berechnen. Darüber hinaus wird FEM eingesetzt, um stationäre und instationäre Wasserströmungen, die kombinierte Konsolidierung oder Erdbebeneinwirkungen auf Bauwerke zu berechnen.

Was sind die Vorteile von FEM gegenüber analytischen Berechnungen?

Analytische Nachweismethoden bieten eine schnelle und effektive Dimensionierung und Nachweisführung von Konstruktionen. Das analytische Modell kann einfach in ein FEM-Programm übertragen werden, wo die Konstruktion mithilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) nachgewiesen wird. Die Möglichkeit des Vergleichs zweier unabhänginger Lösungen trägt zur Erhöhung von Stabilität und Objektivität bei. Folgende Vorteile bietet FEM gegenüber analytischen Methoden:
  • Die Boden-Bauwerks-Interaktion (v.a. bei komplexen Bauabläufen und schwieriger Geometrie des Baugrunds) kann mit FEM besser simuliert werden.
  • Es ist für die Anwendung von FEM keine Annahme der Bruchmechanismen notwendig. Diese ergeben sich bei der Berechnung in FEM automatisch.
  • Der Nachweis des Grenzzustands der Tragfähigkeit GZT und der Gebrauchstauglichkeit GZG erfolgt mit FEM am gleichen mechanischen System.
  • Verformungen und Spannungen können mit FEM realitätsnäher ermittelt werden.
  • FEM bietet bei bestimmten komplexen Strukturen der Geotechnik (Wasserströmung, Erdbebenberechnungen, Tunnel) die einzige praktikable Nachweisbarkeit.

Was sind die Anwendungen von FEM in der geotechnischen Analyse?

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) wird bei Planung, Entwurf und Dimensionierung
  • zum Nachweis der Gebrauchstauglichkeit der zu erstellenden Bauwerke, insbesondere zur Abschätzung von möglichen Setzungen
  • bei komplizierten Fragestellungen, insbesondere der Boden-Bauwerks-Interaktion in der Geotechnik
  • bei Tunneln als einzig praktikable Nachweisbarkeit verwendet.
Beispiele für den Einsatz der Finite-Elemente-Methode:
  • FEM für Baugrubenverbau
  • FEM für Setzungsberechnungen
  • FEM für Erdbebensimulationen
  • FEM für Böschungsstabilität
  • FEM für Strömungsberechnungen
  • FEM für Tunnelvortriebe
  • FEM für Konsolidierungsberechnungen

Wie läuft die geotechnische Analyse mit FEM ab?

Der Einsatz der Finiten-Elemente-Methode (FEM) erfolgt in der Regel nach den folgenden Schritten:
  • Bestimmen maßgeblicher Berechnungsschnitte, Übergabe in das FEM-Programm
  • Erstellen eines Baugrundmodells für die gewählten Berechnungsschnitte
  • Wahl der Stoffgesetze für die Berechnung
  • Ermitteln der Kennwerte (unter Berücksichtigung der Stoffgesetze)
  • Erstellen eines FE-Netzes/Diskretisierung (2-dimensional / 3-dimensional)
  • Festlegen von Rechenschritten (u.a. Simulation des Bauablaufs)
  • Durchführen des FEM-Berechnung
  • Prüfen der Konvergenz der FEM-Berechnung
  • Interpretation der FEM-Berechnung (Auswertung der Spannungen und Verformungen, Plausibilitätskontrollen)

Welche Bodenmodelle werden in der geotechnischen FEM-Analyse verwendet?

Numerische Modelle wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) sind etabliert, um das Materialverhalten des Bodens und die Wechselwirkung von Boden, Wasser und Bauwerk weit besser vorherzusagen als mit jedem herkömmlichen Berechnungsverfahren. Zur Abbildung des Materialverhaltens werden Stoffgesetze / Materialmodelle eingesetzt, die sich in ihrer Art und Qualität voneinander unterscheiden:
Lineare Materialmodelle
Lineare Modelle in FEM ermöglichen eine relativ schnelle, aber nicht sehr genaue Beurteilung des realen Materialverhaltens. Sie können in Fällen eingesetzt werden, in denen man nur an der Spannung oder Verformung der Grundmasse interessiert ist und nicht an dem Bereich und der Art des möglichen Versagens. Sie können auch in Fällen eingesetzt werden, in denen nur ein lokales Versagen entsteht, das keinen wesentlichen Einfluss auf die Entwicklung eines globalen Versagens hat, das aber zu einem vorzeitigen Abbruch der Analyse im Programm FEM führen kann.
Die Gruppe der linearen Modelle umfasst:
  • elastisches Modell: Es verwendet Umwandlungsbeziehungen zwischen der Spannung und Verformung, die durch das Hooke‘sche Gesetz (innerhalb des Bereichs der linearen Elastizität) gegeben sind.
  • modifiziertes elastisches Modell: Es ermöglicht die Einbeziehung des Einflusses des Zuschlags bei der Be- und Entlastung in die Analyse unter Verwendung des Sekantenmoduls Edef und des Entlastung- und Wiederbelastungsmoduls Eur.
Nichtlineare Materialmodelle
Wenn wir jedoch eine plausible Beschreibung des Bodenverhaltens aus der FEM-Berechnung erhalten wollen oder, wenn wir an der Verteilung von Bereichen mit potenzieller Überschreitung der Scherfestigkeit interessiert sind, ist es notwendig, nichtlineare Modelle zu verwenden. Grundlegende nichtlineare Modelle können in FEM-Programmen wiederum in zwei Gruppen eingeteilt werden.

Die erste Gruppe von Modellen basiert auf dem klassischen Coulomb-Versagenszustand. Es umfasst die Modelle Drucker-Prager, Mohr-Coulomb und Modified Mohr-Coulomb. Mit diesen Modellen ist es auch möglich, die Verfestigung oder Erweichung von Böden zu modellieren. Ein gemeinsames Merkmal dieser Modelle ist die unbegrenzte elastische Verformung unter der Annahme einer geostatischen Beanspruchung.

Die zweite Gruppe von Materialmodellen, die auf der Vorstellung des kritischen Zustandes des Bodens basieren, wird durch die Modelle Modified Cam-Clay, Generalized Cam-Clay und Hypoplastic Clay repräsentiert. Diese Modelle liefern ein deutlich besseres Bild von der nichtlinearen Reaktion des Bodens auf äußere Belastungen. Die einzelnen Materialmodelle unterscheiden sich nicht nur in ihren Parametern, sondern auch in den getroffenen Annahmen. Die Grenze zwischen der linearen (elastischen) und nichtlinearen (plastischen) Reaktion des Materials wird durch die Plastizitätsgrenze gebildet. Der mathematische Ausdruck der Plastizitätsgrenze stellt eine bestimmte Fehlerbedingung dar (Plastizitätsfunktion). Die Überschreitung dieser Bedingung führt zur Entwicklung dauerhafter (irreversibler) plastischer Dehnungen.

Die Auswahl eines für die Analyse geotechnischer Strukturen geeigneten Materialmodells richtet sich in erster Linie nach der individuellen Aufgabenstellung. Im FEM-basierten Prozess der umfassenden Modellierung komplexerer Probleme stellt die Auswahl des numerischen Modells einen absolut wesentlichen Einfluss auf die Spezifikation der Eingangsdaten und die Bewertung der Analyseergebnisse dar.
Bauphasen
Wenn die Festlegung der (Struktur-)Topologie und die Generierung des FEM-Netzes abgeschlossen sind, werden die Analysen für einzelne Bauabschnitte durchgeführt. Die Bauphasen entsprechen dem logischen schrittweisen Aufbau der Konstruktion im FEM-Programm. Die richtige Festlegung und die Reihenfolge sind dementsprechend sehr wichtig. Die Analyse jeder Stufe (mit Ausnahme von Stabilitätsanalysen) basiert auf den Ergebnissen der vorangegangenen Stufe der FEM-Analyse. Zwischen den Bauabschnitten werden Informationen über einzelne Bauobjekte und deren Eigenschaften gepflegt. Die Eigenschaften der vorangegangenen Stufe werden dabei in die darauffolgende Stufe übertragen.
Die erste Bauphase (die Analyse der primären geostatischen Spannung / Primärspannungszustand) stellt den Ausgangszustand vor Baubeginn dar. Aus diesem Grund bezieht sich das Analyseergebnis in FEM auf die Spannung im Boden oder Gestein, nicht auf die Verformungen.

Wie kann FEM Ingenieuren in der Geotechnik helfen?

Alles in allem kann FEM Ingenieuren dabei helfen, eine Vielzahl möglicher Folgen potenzieller Probleme vorab festzustellen, Konstruktionen zu optimieren und somit wirtschaftlicher zu erstellen. Ohne die Finite-Elemente-Methode (FEM) wäre das nicht möglich.
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